Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）-f（-x）=0，且在区间[0，+∞）上f′（x）＞0，则使f(2x-1)＜f(

1

3

)成立的x取值范围是（　　）

• A．(

  1

  3

  ，

  2

  3

  )
• B．[

  1

  3

  ，

  2

  3

  )
• C．(

  1

  2

  ，

  2

  3

  )
• D．[

  1

  2

  ，

  2

  3

  )

Answer 1

分析：由已知条件，可判断出函数为偶函数，且在区间[0，+∞）上函数f（x）为增函数，在区间（-∞，0]上为减函数，进而可将函数f(2x-1)＜f(

1

3

)转化为|2x-1|＜

1

3

，解得答案．

解答：解：∵函数f（x）满足f（x）-f（-x）=0，即f（x）=f（-x）恒成立
故函数为偶函数
又∵在区间[0，+∞）上f′（x）＞0，函数f（x）为增函数
故函数f（x）在区间（-∞，0]上为减函数
若f(2x-1)＜f(

1

3

)成立
则|2x-1|＜

1

3

，即-

1

3

＜2x-1＜

1

3

解得

1

3

＜x＜

2

3

．
故选A

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，奇偶性与单调性的综合，熟练掌握导函数符号与原函数单调性之间的关系，是解答的关键．