Question

在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是正方形A₁B₁C₁D₁的中心，点P在棱CC₁上，且CC₁=4CP．
（Ⅰ）求直线AP与平面BCC₁B₁所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）设O点在平面D₁AP上的射影是H，求证：D₁H⊥AP；
（Ⅲ）求点P到平面ABD₁的距离．

Answer 1

分析：本题宜建立空间坐标系，用空间向量来解决求线面角证线线垂直，求点到面 距离．
（Ⅰ）由题设条件，连接AC，即可得出AP与平面BCC₁B₁所成的角为∠PAC，求出线的方向向量与面的法向量，用公式求出线面角的正弦．
（Ⅱ）由图形及题设条件可以证得AP⊥面D₁OH，由线面垂直证得母线线垂直，求出两线．
（Ⅲ）用向量法求点到面的距离，求线段对应的向量在面的法向量的投影的长度即可．

解答：解：建立如图的空间坐标系，由已知D（0，0，0），A（4，0，0），C（0，4，0），
D（0，0，4），B（4，4，0）
（1）如图，连接PB，由正方体的性质知∠APB即为所求的线面角，∵CC₁=4CP∴CP=1，由勾股定理知BP=

17

，
∴tan∠APB=

AB

PB

=

4

17

=

4 17

17

∴∠APB=arctan

4

17

17

（2）证明：由已知OH⊥面APD₁，∴OH⊥AP，
连接B₁D₁，由于O是上底面的中心，故O∈B₁D₁，
由正体的性质知B₁D₁⊥面AC₁，
又AP?面AC₁，
∴B₁D₁⊥AP
又B₁D₁∩OH=0
∴AP⊥面D₁OH，
∴D₁H⊥AP
（3）如图

AB

=（0，4，0），

AD 1

=（-4，0，4）

AP

=（-4，4，1）
令面ABD₁的法向量为

n

=（x，y，z）
故有

AB • n =0 AD 1 • n =0

，即

x-z=0 y=0

令x=1，则z=1，故

n

=（1，0，1）
故点P到面面ABD₁的距离d=

3

2

=

3 2

2

点P到面面ABD₁的距离为

3

2

2

点评：本考点是立体几何，对三个问题其中前两个问题用几何法证明较易，故采用了几何法，而第三个问题点到面的垂线段不易做出，故采用了向量法求点到面的距离，在做题时应根据题目的条件灵活选用解题的方法．