Question

若函数y=f（x）的图象与y=ln（x-1）+1（x＞1）的图象关于直线y=x对称，且f（1）=a+b（a，b都是正实数），则

1

a

+

1

2b

的最小值是（　　）

• A．2
• B．

  2

• C．

  2 +3

  4

• D．

  2 2 +3

  4

Answer 1

分析：由题意可得，f（x）为已知函数的反函数，从而可求a+b，而

1

a

+

1

2b

=

1

2

（

1

a

+

1

2b

）（a+b）=

3

2

+

b

a

+

a

2b

，利用基本不等式可求

解答：解：∵y=f（x）的图象与y=ln（x-1）+1（x＞1）的图象关于直线y=x对称
∴f（x）=e^x-1+1
∴f（1）=2=a+b，a＞0，b＞0
则

1

a

+

1

2b

=

1

2

（

1

a

+

1

2b

）（a+b）=

1

2

（

3

2

+

b

a

+

a

2b

）≥

3

2

+

2

）×

1

2

当且仅当

b

a

=

2a

b

即b=

2

a时取等号
故

1

a

+

1

2b

的最小值（

3

2

+

2

）×

1

2

故选D

点评：本题主要考察了互为反函数的函数的图象关系，基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是基本不等式条件的配凑