Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1且a_n+1=2S_n+1（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）若c_n=a_n•log₉a_n（n∈N^*），T_n为数列{c_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析：（1）根据a₁=1且a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），类比可得a_n=2S_n-1+1（n≥2，n∈N^*），两式相减即可；
（2）由（1）知a_n=3^n-1，可求cn =

n-1

2

•3n-1，Tn=0+

1

2

•3+

2

2

•32+…+

n-1

2

•3n-1，利用错位相减法即可求得T_n．

解答：解：（1）由已知得a_n+1=2S_n+1，a_n=2S_n-1+1（n≥2，n∈N^*），
两式相减得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2，n∈N^*）．
又a₂=2S₁+1=2a₁+1=3=3a₁，所以a_n+1=3a_n（n∈N^*）
所以数列{a_n}是以1为首项，公比为3的等比数列．
（2）由（1）知a_n=3^n-1，于是cn=3n-1log93n-1=

n-1

2

•3n-1，于是Tn=0+

1

2

•3+

2

2

•32+…+

n-1

2

•3n-1，
3Tn=0•3+

1

2

•32+…+

n-2

2

•3n-1+

n-1

2

•3n，
相减得：-2Tn=

1

2

•3+

1

2

•32+…+

1

2

•3n-1-

n-1

2

•3n=

3 2 (1-3n-1)

1-3

-

n-1

2

•3n
解得：Tn=

2n-3

8

•3n+

3

8

．

点评：本题考查数列的求和，重点考查学生的等差数列的通项公式与等比数列的求和公式，着重考查学生的错位相减法求和，属于中档题．