Question

3．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左、右顶点是双曲线$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在同时满足下列两个条件的直线l：①与双曲线相交于Q₁、Q₂两点，且$\overrightarrow{O{Q_1}}•\overrightarrow{O{Q_2}}=-5$，②与相交于M₁、M₂两点，且$|{{M_1}{M_2}}|=\sqrt{10}$．若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意求得a²=3，再由椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$求得b=1，则椭圆的方程可求；
（Ⅱ）假设存在直线满足条件，设出直线l的方程为y=kx+m，代入双曲线方程化为关于x的一元二次方程，得到m与k的关系，再利用根与系数关系结合$\overrightarrow{O{Q_1}}•\overrightarrow{O{Q_2}}=-5$得到m²=1-9k²．再把直线和椭圆联立，由判别式大于0求得3k²+1＞m²，进一步求得k的范围，利用根与系数的关系得到M₁、M₂两点的横坐标的和与积，代入弦长公式即可求得k的值，得到m的值，则直线l的方程可求．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知：a²=3，
又椭圆的上顶点为（0，b），双曲线的渐近线为：$y=±\frac{\sqrt{3}}{3}x$，即$x±\sqrt{3}y=0$，
由点到直线的距离公式有：$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{|±\sqrt{3}b|}{2}$，即b=1，
∴椭圆的方程为：$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）假设存在直线满足条件，则它的斜率一定存在．
设直线l的方程为y=kx+m，代入$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$，消去y并整理得：（1-3k²）x²-6kmx-3m²-3=0．
则：$\left\{\begin{array}{l}1-3{k^2}≠0\\ 36{k^2}{m^2}-4（1-3{k^2}）（-3{m^2}-3）＞0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1-3{k}^{2}≠0}\\{{m}^{2}+1＞3{k}^{2}}\end{array}\right.$，…①
设Q₁（x₁，y₁）、Q₂（x₂，y₂），则有：${x_1}+{x_2}=\frac{6km}{{1-3{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{-3{m^2}-3}}{{1-3{k^2}}}$．
又$\overrightarrow{O{Q_1}}•\overrightarrow{O{Q_2}}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}$=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}$，且$\overrightarrow{O{Q_1}}•\overrightarrow{O{Q_2}}=-5$，
∴$\frac{1}{{1-3{k^2}}}[（1+{k^2}）（-3{m^2}-3）+6{k^2}{m^2}+{m^2}（1-3{k^2}）]=-5$，得m²=1-9k²． …②
将y=kx+m代入$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，消去y并整理得：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，
则△=36k²m²-4（1+3k²）（3m²-3）＞0，即3k²+1＞m²，…③
由①②③有：$0＜{k^2}≤\frac{1}{9}$．
设M₁（x₃，y₃）、M₂（x₄，y₄），则有：${x_3}+{x_4}=\frac{-6kb}{{1+3{k^2}}}$，${x_3}•{x_4}=\frac{{3{b^2}-3}}{{1+3{k^2}}}$．
∴$|{{M_1}{M_2}}|=\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{\frac{{36{k^2}{b^2}-4（3{b^2}-3）（1+3{k^2}）}}{{{{（1+3{k^2}）}^2}}}}$=$\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{\frac{{-4（3{b^2}-3-9{k^2}）}}{{{{（1+3{k^2}）}^2}}}}$，
又b²=1-9k²，代入上式得：$|{{M_1}{M_2}}|=\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{\frac{{144{k^2}}}{{{{（1+3{k^2}）}^2}}}}$=$\frac{12|k|}{1+3{k}^{2}}\sqrt{1+{k}^{2}}$，
由$|{{M_1}{M_2}}|=\sqrt{10}$，得$\frac{12|k|}{1+3{k}^{2}}\sqrt{1+{k}^{2}}=\sqrt{10}$，解得$k=±\frac{1}{3}$满足条件．
代入b²=1-9k²，可求得b=0，
故存在满足条件的直线l，其方程为$y=±\frac{1}{3}x$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是压轴题．