题目内容

如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形，SD⊥AD，SD⊥AB，且AB=2AD，SD= $数学公式$ AD，
（1）求证：平面SDB⊥平面ABCD；
（2）求二面角A-SB-D的大小．

解：（1）∵SD⊥AD，SD⊥AB，AD∩AB=A
∴SD⊥平面ABCD，
又∵SD⊆平面SBD，
∴平面SDB⊥平面ABCD． …（5分）
（2）由题可知DS、DA、DC两两互相垂直．
如图建立空间直角坐标系D-xyz
设AD=a，则S（ $\text{[math]}$ a，0，0），A（0，a，0），B（0，a，2a），C（0，0，2a），…（6分）
∵ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ a，0，0）， $\text{[math]}$ =（0，a，2a），…（7分）
设面SBD的一个法向量为 $\text{[math]}$ =（x，y，-1）
则 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$ =（0，2，-1）…（8分）
又∵ $\text{[math]}$ =（0，0，2a）， $\text{[math]}$ =（- $\text{[math]}$ a，a，0），
设面SAB的一个法向量为 $\text{[math]}$ =（1，y，z），
则 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
解出 $\text{[math]}$ =（1， $\text{[math]}$ ，0），…（10分）
cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故所求的二面角为arccos $\text{[math]}$ …（12分）
分析：（1）由已知中，SD⊥AD，SD⊥AB，由线面平行的判定定理可得SD⊥平面ABCD，再由面面平行的判定定理可得平面SDB⊥平面ABCD；
（2）由已知及（1）中结论，我们可以建立空间直角坐标系D-xyz，分别求出平面ASB，及平面SBD的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角A-SB-D的大小．
点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，平面与平面垂直的判定，其中（1）的关键是熟练掌握空间线线垂直，线面垂直，面面垂直之间的相互转化，（2）的关键是建立空间坐标系，将空间中二面角问题转化为向量夹角问题．