Question

已知椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，右焦点为（2

2

，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3，2）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆离心率为

6

3

，右焦点为（2

2

，0），可知c=2

2

，可求出a的值，再根据b²=a²-c²求出b的值，即可求出椭圆G的方程；
（Ⅱ）设出直线l的方程和点A，B的坐标，联立方程，消去y，根据等腰△PAB，求出直线l方程和点A，B的坐标，从而求出|AB|和点到直线的距离，求出三角形的高，进一步可求出△PAB的面积．

解答：解：（Ⅰ）由已知得，c=2

2

，

c

a

=

6

3

，
解得a=2

3

，又b²=a²-c²=4，
所以椭圆G的方程为

x2

12

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，
由

y=x+m x2 12 + y2 4 =1

得4x²+6mx+3m²-12=0．①
设A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）（x₁＜x₂），AB的中点为E（x₀，y₀），
则x₀=

x1+x2

2

=-

3m

4

，
y₀=x₀+m=

m

4

，
因为AB是等腰△PAB的底边，
所以PE⊥AB，
所以PE的斜率k=

2- m 4

-3+ 3m 4

=-1，
解得m=2．
此时方程①为4x²+12x=0．
解得x₁=-3，x₂=0，
所以y₁=-1，y₂=2，
所以|AB|=3

2

，此时，点P（-3，2）．
到直线AB：y=x+2距离d=

|-3-2+2|

2

=

3 2

2

，
所以△PAB的面积s=

1

2

|AB|d=

9

2

．

点评：此题是个中档题．考查待定系数法求椭圆的方程和椭圆简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．