Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c﹣a）cosB﹣bcosA=0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求 sinA+sin（C﹣ ）的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵（2c﹣a）cosB﹣bcosA=0，∴2sinCcosB﹣sinAcosB﹣sinBcosA=0， 即2sinCcosB﹣sin（A+B）=0，
即sinC（2cosB﹣1）=0，
∴cosB= ，
∴B= ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 sinA+sin（C﹣ ）= sinA+cosA=2sin（A+ ），
∵A∈（0， ），
∴A+ ∈（ ， ），sin（A+ ）∈（ ，1]，
∴2sin（A+ ）∈（1，2]，即 sinA+sin（C﹣ ）的取值范围是（1，2]
【解析】（Ⅰ）在△ABC中，由条件利用正弦定理、两角和差的正弦公式可得 sinC（2cosB﹣1）=0，故有cosB= ，由此求得 B的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 sinA+sin（C﹣ ）=2sin（A+ ），根据A∈（0， ），利用正弦函数的定义域和值域求得 sinA+sin（C﹣ ）的取值范围．