Question

（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁
均为正方形，∠BAC=90°,点D是棱B₁C₁的中点．
（1）求证：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（2）求证：AB₁∥平面A₁DC；
（3）求二面角D-A₁C-A的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为侧面均为正方形，
所以,
所以平面，三棱柱是直三棱柱．　　　………………1分
因为平面，所以，　　　　　　　　　………………2分
又因为，为中点，所以．            ……………3分
因为,所以平面．     ……………4分
（Ⅱ）证明：连结，交于点，连结，
因为为正方形，所以为中点，
又为中点，所以为中位线，
所以，           ………………6分
因为平面，平面，
所以平面．     ………………8分
（Ⅲ）解：因为侧面，均为正方形，，
所以两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系．

设，则．
，                            ………………9分
设平面的法向量为，则有
，，，
取，得．                           ……………10分
又因为平面，所以平面的法向量为，………11分
，                    因为二面角是钝角，
所以，二面角的余弦值为．             ……………12分

解析