题目内容
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，k∈R，则f（k）+f（-k）的值一定（ ）分析：由图象可知：经过原点，可得f（0）=0=d，即f（x）=ax3+bx2+cx．于是f（k）+f（-k）=2bk2．由图象可得：函数f（x）在[-1，1]上单调递减，函数f（x）在x=-1处取得极大值．可得f′（x）≤0在[-1，1]上恒成立，且f′（-1）=0．即可得到b＜0，进而得出结论．
解答：解：由图象可知：经过原点，∴f（0）=0=d，
∴f（x）=ax3+bx2+cx．
∴f（k）+f（-k）=2bk2．
由图象可得：函数f（x）在[-1，1]上单调递减，函数f（x）在x=-1处取得极大值．
∴f′（x）=3ax2+2bx+c≤0在[-1，1]上恒成立，且f′（-1）=0．
得到3a-2b+c=0，f′（1）=3a+2b+c＜0，
两式相加得到b＜0，
∴f（k）+f（-k）=2bk2≤0．
故选D．
∴f（x）=ax3+bx2+cx．
∴f（k）+f（-k）=2bk2．
由图象可得：函数f（x）在[-1，1]上单调递减，函数f（x）在x=-1处取得极大值．
∴f′（x）=3ax2+2bx+c≤0在[-1，1]上恒成立，且f′（-1）=0．
得到3a-2b+c=0，f′（1）=3a+2b+c＜0，
两式相加得到b＜0，
∴f（k）+f（-k）=2bk2≤0．
故选D．
点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性极值、数形结合等基础知识与基本方法，属于中档题．
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