Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=b₁，且对任意n∈N*都有a_n+b_n=1，，
(Ⅰ)求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
(Ⅱ)证明：。

Answer 1

(Ⅰ)解：∵对任意n∈N*都有a_n+b_n=1，，
∴，
∴，即，
∴数列是首项为，公差为1的等差数列，
∵，且，
∴，
∴，
∴。
 (Ⅱ) 证明：∵，
∴，
∴所证不等式，
即，
①先证右边不等式，
令，
则，
当x＞0时，，
所以函数f（x）在上单调递减，
∴当x＞0时，，即，
分别取，
得，
即，
也即，
即，
②再证左边不等式，
令，
则，
当x＞0时，，
所以函数f（x）在上单调递增，
所以，当x＞0时，，即，
分别取，
得，
即，
也即，
即，
∴。