Question

设a=

∫

2 0

（1-3x²）dx+4，则二项式（x²+

a

x

）⁶展开式中不含x³项的系数和是（　　）

A．-160

B．160

C．161

D．-161

Answer 1

分析：利用微积分基本定理可求得a，再求出二项式（x²+

a

x

）⁶展开式中所有项的系数之和与含x³项的系数，二者作差即可．

解答：解：∵a=

∫

2 0

（1-3x²）dx+4=（x-x³）

|

2 0

+4=2-8+4=-2，
∴（x²+

a

x

）⁶=(x2-

2

x

)6，
设其二项展开式的通项公式为T_r+1，
则T_r+1=

C

r 6

•（x²）^6-r•（-2）^r•x^-r=（-2）^r•

C

r 6

•x^12-3r，
令12-3r=3得：r=3．
∴二项式（x²+

a

x

）⁶展开式中含x³项的系数为：-8×20=-160．
令x=1得二项式(x2-

2

x

)6展开式中所有项的系数之和为：(1-

2

1

)6=1，
∴二项式(x2-

2

x

)6展开式中不含x³项的系数和是1-（-160）=161．
故选C．

点评：本题考查二项式定理与微积分基本定理，着重考查二项展开式的通项公式，考查理解与运算的能力，属于中档题．