Question

已知向量

OA

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

OB

=(cos

1

2

x，-sin

1

2

x)，且x∈[-

π

4

，

π

4

]．
（Ⅰ）若f(x)=

OA

•

OB

，求函数f（x）关于x的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的值域；
（Ⅲ）设t=2f（x）+a的值域为D，且函数g(t)=

1

2

t2+t-2在D上的最小值为2，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求函数的解析式，只要运用向量积的点坐标运算公式计算得到

OA

•

OB

的结果．
（Ⅱ）要求函数值域，只要根据定义域及三角函数的值域的求法即可．
（III））先由t=2f（x）+a得出：D=[a，a+2]，又函数g(t)=

1

2

t2+t-2在D上的最小值为2，利用g（t）在[a，a+2]上单调得到关于a的不等式和方程的混合组，解此不等式和方程组即可．

解答：解：（I）∵f(x)=

OA

•

OB

由向量积的点坐标运算公式计算得：
∴f(x)=cos

3

2

xcos

1

2

x-sin

3

2

xsin

1

2

x=cos2x
（II）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，∴cos2x∈[0，1]，∴f（x）的值域为[0，1]
（III）∵t=2f（x）+a，∴t∈[a，a+2]，∴D=[a，a+2]
又函数g(t)=

1

2

t2+t-2在D上的最小值为2
∴g（t）在[a，a+2]上单调
∴

a＞-1 1 2 a2+a-2=2

或

a+2＜-1 1 2 (a+2)2+a=2

解得a=2或-6

点评：本题考查平面向量数量积的运算，三角函数的周期性及其求法，同时还考查了三角函数的最值的求法．