Question

【题目】（1）已知圆过点，且与直线相切于点，求圆的方程；

（2）已知圆与轴相切，圆心在直线上，且圆被直线截得的弦长为，求圆的方程．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）或.

【解析】

（1）求出过点且垂直于直线的直线方程，并求出线段的垂直平分线方程，联立两直线方程可得出圆心坐标，求出圆心到点的距离作为圆的半径，由此可得出圆的标准方程；

（2）设圆心的坐标为，可知圆的半径为，求出圆心到直线的距离，利用弦长的一半、、圆的半径之间的关系并结合勾股定理求出的值，即可得出圆的标准方程.

（1）由题意知圆心必在过切点且垂直切线的直线上，

可求得此直线为，

直线的斜率为，线段的中点坐标为，则线段的垂直平分线方程为，即，

可知圆心必在线段的垂直平分线上，

联立，可求得圆心，则，

因此，圆的方程为；

（2）设圆心，半径，

圆心到直线的距离为，

由半弦长、弦心距、半径的关系得，，

当时，圆心，半径，此时圆为；

当时，圆心，半径，此时圆为.

因此，圆的方程为或.