题目内容

已知an=
1
(n+1)2
(n∈N*)，bn=2（1-a1）（1-a2）…（1-an），则
lim
n→+∞
bn=
1
1
．
分析：先根据an的通项求出1-an的表达式；代入bn整理即可求出答案．
解答：解：∵an=
1
(n+1)2
(n∈N*)，
∴1-an=1-
1
(n+1) 2
=
n(n+2)
(n+1) 2
；
∴bn=2（1-a1）（1-a2）…（1-an）
=2×
1×3
(1+1) 2
×
2×4
(2+1) 2
×
3×5
(3+1) 2
×…×
(n-2)[(n-2)+2]
([(n-2)+1] 2
×
(n-1)[(n-1)+2]
n2
×
n(n+2)
(n+1)2

=2×
1
2
×
n+2
n+1

=1+
1
n+1
．
∴
lim
n→+∞
bn=1．
故答案为：1．
点评：本题主要考查数列的极限．解决问题的关键在于知道哪些项留了下来，哪些项被消去了，所以在做这一类型题目时，一般要多写几项，便于观察．
练习册系列答案
相关题目
已知在数列{an}中，a1=t，a2=t2，其中t＞0，x=
t
是函数f（x）=an-1x3-3[（t+1）an-an+1]x+1（n≥2）的一个极值点
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式
（Ⅱ）当t=2时，令bn=
an-1
(an+1)(an+1+1)
，数列{bn}前n项的和为Sn，求证：Sn＜
1
6

（Ⅲ）设cn=
1
2
an
(2n+1)(2n+1+1)
，数列{cn}前n项的和为Tn，求同时满足下列两个条件的t的值：
（1）Tn＜
1
6

（2）对于任意的m∈(0，
1
6
)，均存在k∈N*，当n≥k时，Tn＞m．
已知
a
=（
2
，-1），
b
=（
2
2
，2）．f（x）=x2+
a
2x+
a
•
b
，数列{an}满足a1=1，3an=f （an-1）+1
（n∈N，n≥2），数列{bn}前n项和为Sn，且bn=
1
an+3
．
（1）写出y=f （x）的表达式；
（2）判断数列{an}的增减性；
（3）是否存在n1，n2（n1，n2∈N*），使S n1≥1或S n2＜
1
4
，如果存在，求出n1或n2的值，如果不存在，请说明理由．
（2010•宿州三模）在数列{an}中，已知an+1+an-1=2an（n∈N+，n≥2），若平面上的三个不共线的非零向量
OA
、
OB
、
OC
，满足
OC
=a1005
OA
+a1006
OB
，三点A、B、C共线，且直线不过O点，则S2010等于（　　）
已知
a
=（
2
，-1），
b
=（
2
2
，2）．f（x）=x2+
a
2x+
a
•
b
，数列{an}满足a1=1，3an=f （an-1）+1
（n∈N，n≥2），数列{bn}前n项和为Sn，且bn=
1
an+3
．
（1）写出y=f （x）的表达式；
（2）判断数列{an}的增减性；
（3）是否存在n1，n2（n1，n2∈N*），使S n1≥1或S n2＜
1
4
，如果存在，求出n1或n2的值，如果不存在，请说明理由．

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