Question

【题目】设函数，.

(1)若有两个零点，求实数的取值范围;

(2)若对任意的均有，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1);(2)

【解析】

（1）的零点即为方程的根，设，利用导数研究的单调性，画出的图像，通过图像可得结果；
（2）表示出，求出其导数，构造函数，再利用导数判断出单调区间，进而求出的取值范围

(1)的零点即为方程的根，

设，则，

则当时，，当或时，.

因此在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，

且，，，，

从而的大致草图如下:

由此要使得方程有两个不同实根，则，即.

综合上述，若有两个零点，则实数的取值范围为；

(2)设，下面我们通过讨论的单调性求解的最小值，并保证.

由于，，

则在上单调递增，

从而，即.

①当，即时，，故在上单调递增，从而，从而.

②当，即时，则在上存在唯一零点，则当时，;当时，，

从而，考虑到，

从而

，

即.

由于是单调递增函数在上的唯一零点，

要使得，则只需，

故只需保证，即，

故实数.

综合上述，满足条件的实数的取值范围为.