Question

已知圆A：（x-1）²+y²=4与x轴负半轴交于B点，过B的弦BE与y轴正半轴交于D点，且2BD=DE，曲线C是以A，B为焦点且过D点的椭圆．
（1）求椭圆的方程；
（2）点P在椭圆C上运动，点Q在圆A上运动，求PQ+PD的最大值．
[本小问为附加题，分值5分]（3）点P在椭圆C上运动，点Q在圆A上运动，求PQ+PD的最大值．

Answer 1

分析：（1）由B(-1，0)，D(0，

3

3

)，E(2，

3)

，能求出椭圆方程．
（2）PQ+PD≤（PA+2）+PD=（PA+PD）+2PA+PD=

4 3

3

-PB+PD≤

4 3

3

+DB=2

3

，由此能求出PQ+PD的最大值．

解答：解：（1）B(-1，0)，D(0，

3

3

)，E(2，

3)

椭圆方程为

3

4

x2+3y2=1…7分
（2）PQ+PD≤（PA+2）+PD
=（PA+PD）+2PA+PD=

4 3

3

-PB+PD≤

4 3

3

+DB=2

3

所以P在DB延长线与椭圆交点处，
Q在PA延长线与圆的交点处，
得到最大值为2+2

3

．    …15分

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．