Question

【题目】已知椭圆经过两点，为坐标原点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，且与圆相交于两点，试问直线与的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）为定值，

【解析】

（1）将两点坐标代入椭圆方程，建立的方程组，即可求出结论；

（2）先求出直线斜率不存在时的值，当直线斜率存在时，设其方程为，与椭圆方程联立，根据已知求出关系，再将直线与圆方程联立，根据根与系数关系将坐标用表示，进而求出，即可得出结论.

（1）依题意，，解得，

所以椭圆方程为.

（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为.

若直线l的方程为，则M，N的坐标为，

.

若直线l的方程为，则M，N的坐标为，

.

当直线l的斜率存在时，可设直线，

与椭圆方程联立可得，

由相切可得，

.

又，消去得

，

设，，则

∴，

.

故为定值且定值为.

综上，为定值且定值为.