Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥平面ABCD，PA=2，M为AB的中点．求：
（Ⅰ） 异面直线CM与PD所成的角的余弦值；
（Ⅱ）直线PD与平面PMC成角的正弦值．

Answer 1

解：以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），M（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）
（Ⅰ） ，设异面直线CM与PD所成的角为α，
则cosα=；
（Ⅱ）
设平面PMC的法向量为，∴，∴平面PMC的一个法向量为
设直线PD与平面PMC成角为θ，则=
分析：以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
（Ⅰ）用坐标表示出，即可求出异面直线CM与PD所成的角的余弦值；
（Ⅱ）求出平面PMC的法向量，进而利用向量的夹角公式可求直线PD与平面PMC成角的正弦值．
点评：本题考查利用空间向量法解决立体几何问题，考查线线角，线面角，建立坐标系，用坐标表示点与向量是关键．