题目内容
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)且满足f(-1)=0,对于任意实数x,都有f(x)-x≥0,并且当x∈(0,2)时,有f(x)≤(
)2.(1)求f(1)的值；(2)证明ac≥
.
(1)解析：∵f(-1)=0,∴a-b+c=0.
又∵对x∈R,f(x)-x≥0恒成立,
∴x=1时,f(1)-1≥0.
又∵1∈(0,2),由已知得f(1)≤()2=1,
∴1≤f(1)≤1, 即f(1)=1.
(2)证明:由于f(1)=1,∴a+b+c=1.
又∵a-b+c=0,∴b=a+c=.
由题意知对任意x∈R,f(x)-x≥0,
即ax2-
+c≥0
∴Δ≤0且a＞0,即-4ac+
≤0,得ac≥
.
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