Question

（1）求证：n∈N^*时，(

5

+2) 2n+1-(

5

-2) 2n+1为正整数；
（2）设(

5

+2) 2n+1=m+α(m，n∈N*，0＜α＜1)，求证：α（m+α）=1．

Answer 1

分析：（1）利用二项式定理展开即可证明；
（2）利用（1）的结论即可找出其小数α，进而可证明结论．

解答：证明：（1）当n∈N^*时，(

5

+2) 2n+1-(

5

-2) 2n+1
=[(

5

)2n+1+

C

1 2n+1

(

5

)2n×2+

C

2 2n+1

(

5

)2n-1×22+…+

C

2n 2n+1

5

×22n+22n+1]-[(

5

)2n+1-

C

1 2n+1

(

5

)2n×2+

C

2 2n+1

(

5

)2n-1×2+…+

C

2n 2n+1

5

×22n-2²ⁿ⁺¹]
=2

C

1 2n+1

(

5

)2n×2+2

C

3 2n+1

(

5

)2n-2×23+…+2×2²ⁿ⁺¹，
凡是含有

5

时，其指数为偶数，因此上式为正整数，故结论成立．
（2）由（1）可知：当n∈N^*时，(

5

+2) 2n+1-(

5

-2) 2n+1为正整数，
而0＜

5

-2＜1，∴0＜(

5

-2)2n+1＜1；
再由(

5

+2) 2n+1=m+α(m，n∈N*，0＜α＜1)，可得α=(

5

-2)2n+1，
∴α（m+α）=(

5

-2)2n+1(

5

+2)2n+1=[(

5

-2)(

5

+2)]2n+1=1²ⁿ⁺¹=1．
∴α（m+α）=1．

点评：熟练掌握二项式定理及善于利用已证明的结论是解题的关键．