Question

如图，将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，连接A′C得到三棱锥A′-BCD，A′F 垂直BD于F，E为BC的中点．
（1）求证：EF∥平面A′CD
（2）设正方形ABCD边长为a，求折后所得三棱锥A′-BCD的侧面积．

Answer 1

分析：（1）根据题意，F为BD的中点．又E为BC的中点，可得EF∥CD．再根据直线和平面平行的判定定理证得EF∥平面A′CD．
（2）连接CFCF，根据AA′F⊥平面BCD，可得∠A′FC=90°，△A′BC和△A′DC都为边长为a的等边三角形，再根据S_侧=S_A′BD+S_A′BC+S_A′CD，运算求得结果

解答：解： （1）证明：根据题意，有平面A′BD⊥平面BCD，由于A′F⊥BD于F，A′D=A′B，∴F为BD的中点．
又∵E为BC的中点，∴EF∥CD．
再根据CD?平面A′CD，而EF不在平面A′CD 内，
∴EF∥平面A′CD．
（2）连接CF，∵平面A′BD⊥平面BCD，A′F⊥BD，
∴A′F⊥平面BCD，∴∠A′FC=90°．
∴A′C²=A′F²+FC²=（

2

2

a）²+（

2

2

a）²=a²．
∴△A′BC和△A′DC都为边长为a的等边三角形．
∴S_侧=S_A′BD+S_A′BC+S_A′CD=

1

2

•

2

a•

2

2

a+

3

4

a²+

3

4

a² =

1+ 3

2

a²．

点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求棱锥的表面积，属于中档题．