Question

△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（1）求∠A；
（2）若b=2，c=1，D为BC边上靠近点B的三等分点，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，得出关系式，再利用余弦定理表示出cosA，将得出的关系式代入求出cosA的值，由A为三角形内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）根据D为BC边上靠近点B的三等分点，表示出

AD

，求出

AD

的模即可得到AD的长．

解答：解：（1）利用正弦定理化简2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，得：2a²=2b²+2bc+2c²，即=b²+c²-a²=-bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

，
∵A为三角形内角，
∴A=

2π

3

；
（2）∵

AD

=

2

3

AB

+

1

3

AC

，|

AC

|=b=2，|

AB

|=c=1，
∴|

AD

|=

( 2 3 AB + 1 3 AC )2

=

4 9 ×1+ 1 9 ×4- 4 9 × 1 2

=

6

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．