Question

△ABC中，角A、B、C的对边分别是为a，b，c，△ABC的面积为

3 3

2

，且c=

7

，3cosC-2sin2C=0．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求a、b的值．

Answer 1

分析：（I）根据题中等式解关于cosC的方程，可得cosC=

1

2

（舍负），再由三角形内角的范围即可算出角C的大小；
（II）由正弦定理的面积公式，算出ab=6．根据余弦定理c²=a²+b²-2abcosC的式子解出a²+b²=13，从而算出（a+b）²=25，得a+b=5．最后联解即可得到a、b的值．

解答：解：（Ⅰ）由题意，得
2sin²C=2（1-cos²C）=3cosC…（2分）
解之得cosC=

1

2

或cosC=-2(舍)…（4分）
∵△ABC中，0°＜C＜90°，∴C=60° …（6分）
（Ⅱ）∵S△ABC=

1

2

absinC=

3 3

2

，
∴

1

2

absin60°=

3 3

2

，可得ab=6…（8分）
又∵根据余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，得…（9分）
∴(

7

)2=a2+b2-2abcosC，
化简得a²+b²-ab=7，即a²+b²=13…（11分）
∴a+b=

a2+b2+2ab

=

13+12

=5
∴a=2，b=3或a=3，b=2．…（13分）

点评：本题给出三角形的面积和边角的关系式，求角C的大小并求边a、b之长．着重考查了特殊角的三角函数值、余弦定理和三角形的面积公式等知识，属于中档题．