题目内容

设f（x）= $数学公式$ 是奇函数（a＞0且a≠1），
（1）求出m的值
（2）若f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞1），
判断f（x）在定义域上的增减性，并加以证明．

解：（1）由题意可得f（-x）+f（x）=0   …
即 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$    …
∴（mx）²-1=x²-1
∴m=±1
∴m=-1     m=1（舍）  …
（2）当0＜m＜1时，f（x）为增函数；m＞1时，f（x）为减函数，判断如下
∵f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），则[α，β]?（1，+∞）．
设x₁，x₂∈[α，β]，则1＜x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂） $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =log_a $\text{[math]}$
∵（1+x₁）（x₂-1）-（x₁-1）（1+x₂）=2（x₂-x₁）＞0
∴（1+x₁）（x₂-1）＞（x₁-1）（1+x₂）即 $\text{[math]}$ ＞1
∴当0＜m＜1时， $\text{[math]}$ ，即f（x₁）＜f（x₂）；
当m＞1时，log_a $\text{[math]}$ ＞0，即定义在证明函数f（x₁）＞f（x₂），
故当0＜m＜1时，f（x）为增函数；m＞1时，f（x）为减函数．                   …
分析：（1）由题意可得f（-x）=-f（x），代入可求m
（2）利用函数单调性的定义即可证明：设x₁，x₂∈[α，β]，则1＜x₁＜x₂，对函数值作差f（x₁）-f（x₂）=log_a $\text{[math]}$ 结合已知可判断 $\text{[math]}$ 的正负，进而讨论当0＜m＜1时，及m＞1时，f（x₁）-f（x₂）的符号，即可证明
点评：本题主要考查了奇函数的定义f（-x）=-f（x）的应用，及函数的单调性及函数的单调性的定义在证明函数单调中的应用，属于函数知识的综合应用