Question

已知函数y=f （x）（x∈R，x≠0）对任意的非零实数x₁，x₂，恒有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），试判断f（x）的奇偶性．

Answer 1

解：令x₁=-1•，x₂=x，得f （-x）=f （-1）+f （x） …①
为了求f （-1）的值，令x₁=1，x₂=-1，
则f（-1）=f（1）+f（-1），即f（1）=0，
再令x₁=x₂=-1得：f（1）=f（-1）+f（-1）=2f（-1）=0，
∴f（-1）=0代入①式得：
f（-x）=f（x），可得f（x）是一个偶函数．
分析：可采用赋值法，令x₁=-1，x₂=x，得到f （-x）=f （-1）+f （x），再令x₁=1，x₂=-1，求得f（1），同理可求得f（-1），f（x）的奇偶性即可判断．
点评：本题考查函数奇偶性的判断，着重考查学生灵活应用赋值法研究函数的奇偶性，属于中档题．