Question

已知函数f(x)=2cos2(x-

π

6

)-

3

sin2x+1．
（I）求f（x）的最小正周期与单调递增区间；
（II）若当x∈[

π

4

，

π

2

]时，不等式|f（x）-m|＜2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 利用两角和差的余弦公式化简f（x）的解析式为cos（2x+

π

3

）+2，故周期为T=

2π

2

=π，由2kπ-π≤ 2x+

π

3

≤ 2kπ  ，k∈Z，得到f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ） 要使不等式恒成立，需m＞f（x）_max -2 且m＜f（x）_min +2，根据x∈[

π

4

，

π

2

]，可求得f（x）的最大值和最小值，从而得到m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=cos(2x-

π

3

)-

3

sin2x+2=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+2=cos(2x+

π

3

)+2，
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π，
由2kπ-π≤ 2x+

π

3

≤ 2kπ  ，k∈Z，得kπ-

2π

3

≤ x≤ kπ-

π

6

 ，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

2π

3

，kπ-

π

6

] ，k∈Z．
（Ⅱ）∵|f（x）-m|＜2，f（x）-2＜m＜f（x）+2，x∈[

π

4

，

π

2

]，
∴m＞f（x）_max -2 且m＜f（x）_min +2，
又∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴

2π

3

≤2x-

π

3

≤

4π

3

，即1≤cos(2x+

π

3

)+2≤

3

2

，∴f(x)max=

3

2

，f(x)min=1．
∴-

1

2

＜m＜3，即m的取值范围是(-

1

2

，3)．

点评：本题考查两角和差的余弦公式的应用，余弦函数的单调性，周期性和最值，求出f（x）的解析式为cos（2x+

π

3

）+2，是解题的突破口．