Question

已知函数f（x）=lg（1+2x），F（x）=f（x）-f（-x）．
（1）求函数F（x）的定义域；
（2）当0≤x＜

1

2

时，总有F（x）≥m成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可知：1+2x＞0且1-2x＞0，可求函数F（x）的定义域
（2）由题意可知F(x)=lg

1+2x

1-2x

，由F（x）≥m成立，则只要m≤F（x）_min，结合对数函数的性质可求

解答：解：（1）由题意可知：F（x）=lg（1+2x）-lg（1-2x），
∴1+2x＞0且1-2x＞0，
即-

1

2

＜x＜

1

2

，
所以函数F（x）的定义域是(-

1

2

，

1

2

)；
（2）由题意可知F(x)=lg

1+2x

1-2x

，
设u(x)=

1+2x

1-2x

，则有 u(x)=-1+

2

1-2x

；
当0≤x＜

1

2

时有：0≤2x＜1，即-1＜-2x≤0，
则有0＜1-2x≤1，则

1

1-2x

≥1，
故而

2

1-2x

≥2，-1+

2

1-2x

≥1；
∴u（x）_min=1，F（x）_min=lg1=0；
又由题意可得：m≤F（x）_min，
∴m≤0．

点评：本题主要考查了对数函数定义域的求解，函数恒成立与函数最值的相互转化，复合函数的值域的求解，属于综合试题