Question

如图，在四面体中，平面平面，，，。
（Ⅰ）若，，求四面体的体积；
（Ⅱ）若二面角为，求异面直线与所成角的余弦值。（12分）

Answer 1

（1）；（2）.

第一问中，利用求解体积知道高和底面积即可。因为设F为AC的中点，由于AD=CD，所以，故由平面ABC平面ACD，知平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，再利用由勾股定理易知，得到体积。
第二问中，设G、H分别为边CD、BD的中点，则FG//AD，GH//BC，
从而是异面直线AD与BC所成的角或补角设E为边AB的中点，则EF//BC，由知，又由（1）有平面ABC，故由三垂线定理知，
所以为二面角C—AB—D的平面角，由题设知，设AD=a，则，在中，
从而，因为，故，
从而，在中，，又，从而在中，因再利用余弦定理求解得到异面直线所成的角。
解：（I）如图，设F为AC的中点，由于AD=CD，所以，
故由平面ABC平面ACD，知平面ABC，
即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，
且=1，……….2分，
，在中，
因，，
由勾股定理易知，
故四面体ABCD的体积………….4分
（II）如图，设G、H分别为边CD、BD的中点，则FG//AD，GH//BC，
从而是异面直线AD与BC所成的角或补角。……….6分，
设E为边AB的中点，则EF//BC，由知，
又由（1）有平面ABC，故由三垂线定理知，
所以为二面角C—AB—D的平面角，
由题设知，……….8分，
设AD=a，则，在中，，
从而，因为，故，从而，在中，，又，从而在中，因，由余弦定理得，
因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为。…….12分