题目内容

已知函数f(x)=1+有反函数,且点M(a,b)既在函数f(x)的图象上,又在f-1 (x)的图象上,求a、b的值.

思路解析:有两种思路:一是求出反函数,将点M(a,b)坐标分别代入原函数和反函数中去,从而求出a,b的值；二是根据互为反函数图象间的关系知,M(a,b)在f-1 (x)的图象上,则M′(b,a)在原函数的图象上,从而不求

f-1 (x)而求出a,b的值.

解法一:先求出f(x)的反函数.

由y=1+(x≥),

得f-1 (x)= (x-1)2+(x≥1).

点M(a,b)在f(x)的图象上,有b=1+.

又点M(a,b)在f-1 (x)的图象上,

有b= (a-1)2+.由

消去b,得1+= (a-1)2+.

化简,得(a-1)4+2(a-1)2-8(a-1)+5=0.

因式分解,得［(a-1)-1］2［(a-1)2+2(a-1)+5］=0.

∵(a-1)2+2(a-1)+5≠0,∴(a-1)-1=0.

∴a=2.把a=2代入①式,得b=2.∴a=b=2.

解法二:由点M在f(x)的图象上,得b=1+.

∵点M(a,b)在f-1 (x)的图象上,∴点M′(b,a)在f(x)的图象上.

把点M′(b,a)代入y=1+得a=1+.

∴∴

③-④,得［(a-1)+(b-1)］［(a-1)-(b-1)］=2(b-a).

整理,得(a-b)(a+b)=0,于是a=b,或a=-b.

将a=b代入①,得a=b=2.

将a=-b代入①,得b2=-4(舍去).

∴a=b=2.

深化升华

在解法二中,由点M(a,b)在f-1 (x)的图象上,得点M关于y=x的对称点M′(b,a)在f(x)的图象上,可以避免求f(x)的反函数.

解法二是本类题型的最佳解法.


练习册系列答案
相关题目
（1）、已知函数f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函数f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的图象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一个函数g（x）的图象，求g（x）的解析式．
已知函数f(x)=(1-
a
x
)ex，若同时满足条件：
①?x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
则实数a的取值范围是（　　）
已知函数f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函数在区间(a，a+
1
2
)上存在极值，求实数a的取值范围；
（2）当x≥1时，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求实数k的取值范围．
已知函数f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)与f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．
定义在D上的函数f（x）如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，1]上是以3为上界的有界函数，求m的取值范围．

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