Question

已知函数f（x）=lnx-ax²+x（a∈R）
（1）求a的最大值，使函数f（x）在（0，+∞）内是单调函数．
（2）若对于任意的x∈（0，+∞），总有f（x）≤0，求a的取值范围．

Answer 1

（1）求导函数可得f′(x)=

1

x

-2ax+1
令f′(x)=

1

x

-2ax+1≥0，
∵x＞0，∴2a≤

1

x2

+

1

x

=(

1

x

+

1

2

)2-

1

4

∵x＞0，∴

1

x2

+

1

x

≥0
∴2a≤0，∴a最大值为0
f′(x)=

1

x

-2ax+1≤0，即-2ax²+x+1≤0，函数在（0，+∞）内不是单调函数
综上，a最大值为0；
（2）由（1）知，a≤0，函数f（x）在（0，+∞）内是单调增函数，f（x）＞0
∴a＞0
构造函数y1=lnx，y2=ax2-x
∵对于任意的x∈（0，+∞），总有f（x）≤0，
∴对于任意的x∈（0，+∞），总有y₁＜y₂，即对于任意的x∈（0，+∞），y₁=lnx在y2=ax2-x的下方，
如图所示，


∴0＜

1

a

≤1，
∴a≥1