Question

19．已知函数f（x）=$\frac{1}{{4}^{x}-1}$-a是奇函数．
（1）求函数f（x）的解析式并写出它的单调区间（不要求证明）；
（2）设x₁＞0，x₂＞0，x₁≠x₂，判断$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$与f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）的大小，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的定义，求f（-x）=-f（x），经过通分整理便可得到（2a+1）•4^x-（2a+1）=0，这个等式对于定义域内任意x都成立，只能2a+1=0，求出a，便可得到f（x）的解析式．求f′（x），根据其符号，便可找出f（x）定义域内包含的单调区间；
（2）作差比较$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$与f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）的大小：$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$-f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{{4}^{{x}_{1}}-1}-\frac{1}{{4}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}-1}）+（\frac{1}{{4}^{{x}_{2}}-1}-\frac{1}{{4}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}-1}）]$，接下去进行通分并提取公因式即可判断$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$-f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）的符号，从而判断出大小关系．

解答 解：（1）f（x）是奇函数；
∴$f（-x）=\frac{1}{{4}^{-x}-1}-a=\frac{{4}^{x}-a+a•{4}^{x}}{1-{4}^{x}}$=$-（\frac{1}{{4}^{x}-1}-a）=-\frac{1-a•{4}^{x}+a}{{4}^{x}-1}$；
∴4^x-a+a•4^x=1-a•4^x+a；
∴（2a+1）•4^x-（2a+1）=0；
∴2a+1=0，$a=-\frac{1}{2}$；
∴$f（x）=\frac{1}{{4}^{x}-1}+\frac{1}{2}$，$f′（x）=\frac{2ln2•{4}^{x}}{（{4}^{x}-1）^{2}}＞0$；
∴f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上单调递增；
即f（x）的单调增区间为（-∞，0），（0，+∞）；
（2）$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}-f（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{{4}^{{x}_{1}}-1}+\frac{1}{{4}^{{x}_{2}}-1}）$$-\frac{1}{{4}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}-1}$
=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{{4}^{{x}_{1}}-1}-\frac{1}{{4}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}-1}）+（\frac{1}{{4}^{{x}_{2}}-1}-\frac{1}{{4}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}-1}）]$
=$\frac{1}{2}$$[\frac{{4}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}-{4}^{{x}_{1}}}{（{4}^{{x}_{1}}-1）（{4}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}-1）}+\frac{{4}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}-{4}^{{x}_{2}}}{（{4}^{{x}_{2}}-1）（{4}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}-1）}]$
=$\frac{1}{2}•\frac{{4}^{\frac{{x}_{2}}{2}}-{4}^{\frac{{x}_{1}}{2}}}{{4}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}-1}•\frac{{4}^{{x}_{2}}-{4}^{{x}_{1}}}{（{4}^{{x}_{1}}-1）（{4}^{{x}_{2}}-1）}$；
可设x₂＞x₁，x₁＞0，x₂＞0，则：
${4}^{\frac{{x}_{2}}{2}}-{4}^{\frac{{x}_{1}}{2}}＞0，{4}^{{x}_{2}}-{4}^{{x}_{1}}＞0$，${4}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}-1＞0，（{4}^{{x}_{1}}-1）（{4}^{{x}_{2}}-1）＞0$；
∴$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}＞f（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）$．

点评 考查奇函数的定义，注意遇到分式的情况，一般需通分处理，以及作差法比较两个函数值的大小，其过程一般是提取公因式，然后把作差的结果和0比较即可．