Question

已知O为坐标原点，点A、B分别在x轴，y轴上运动，且|AB|=8，动点P满足

AP

=

3

5

PB

，设点P的轨迹为曲线C，定点为M（4，0），直线PM交曲线C于另外一点Q．
（1）求曲线C的方程；
（2）求△OPQ面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）先点的坐标，得到向量的坐标，代入

AP

=

3

5

PB

，求得坐标间的关系，再由|AB|=8求得曲线的轨迹方程．
（2）由（1）可知，M（4，0）为椭圆+=1的右焦点，设直线PM方程为x=my+4，再与椭圆方程联立，由韦达定理求得|y_P-y_Q|，然后由S_△OPQ=

1

2

|OM||y_P-y_Q|建立函数模型求其最值．

解答：解：（1）设A（a，0），B（0，b），P（x，y），
则

AP

=（x-a，y），

PB

=（-x，b-y），
∵

AP

=

3

5

PB

，∴

x-a=- 3 5 x y= 3 5 (b-y)

∴a=

8

5

x，b=

8

3

y．
又|AB|=

a2+b2

=8，∴

x2

25

+

y2

9

=1．
∴曲线C的方程为

x2

25

+

y2

9

=1．
（2）由（1）可知，M（4，0）为椭圆的右焦点，
设直线PM方程为x=my+4，
由

x2 25  + y2 9 =1 x=my+4

消去x得
（9m²+25）y²+72my-81=0，
∴|y_P-y_Q|=

(72m)2+4×(9m2+25) × 81

9m2+25

=

90 m2+1

9m2+25

．
∴S_△OPQ=

1

2

|OM||y_P-y_Q|=2×

90 m2+1

9m2+25

=

20 m2+1

m2+ 25 9

=

20 m2+1

m2+1+ 16 9

=

20

m2+1  + 16 9 m2+1

≤

20

8 3

=

15

2

，
当

m2+1

=

16

9 m2+1

，
即m=±

7

3

时，△OPQ的面积取得最大值为

15

2

，
此时直线方程为3x±

7

y-12=0．

点评：本题主要考查轨迹方程的求法和直线与圆锥曲线的位置关系，以及所构造平面图形面积的最大，最小等问题．