题目内容

讨论函数f(x)=x2-lnx2的单调性．

 

答案：
解析：

函数f(x)的定义域为(-∞，0)(0，+∞)．其导数f′(x)=2x-=

．

　　∴　f′(x)的符号由因式x，(x-1)，(x+1)的符号决定．故可列表讨论如下：

 

(-∞，-1)

(-1，0)

(0，1)

(1，+∞)

x+1

-

+

+

+

x

-

-

+

+

x-1

-

-

-

+

-

+

-

+

f(x)

↘

↗

↘

↗

　　注：表中箭头向下表示单调递减，箭头向上表示单调递增．

　　由上表可知，函数f(x)=x2-lnx2在区间[-1，0)，[1，+∞)上单调递增；在区间(-∞，-1)，(0，1]内单调递减．

 


提示：

用列表的方法讨论函数的单调性，其优点是明显和清楚．

 


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已知函数f（x）=ex（e为自然对数的底数），g（x）=ln（f（x）+a）（a为常数），g（x）是实数集R上的奇函数．
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（2）讨论关于x的方程：lng（x）=g（x）•（x2-2ex+m）（m∈R）的根的个数；
（3）设n∈N*，证明：(
1
n
)n+(
2
n
)n+(
3
n
)n+…+(
n
n
)n＜
e
e-1
（e为自然对数的底数）．
已知函数f(x)=x+
ax
+b(x≠0)，其中a，b∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）在（1，2）上为单调函数，求实数a的取值范围．
已知a∈R，函数f(x)=
ax
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（3）若实数m，n满足m＞0，n＞0，求证：nnem≥mnen．
已知函数f(x)=
x-a(x-a)2+4
，
（1）讨论f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）当f（x）是奇函数时，求f（x）在[-c，c]（c＞0，c是常数）上的值域．
（2013•潍坊一模）设函数f(x)=
1
3
mx3+(4+m)x2，g(x)=alnx，其中a≠0．
（ I ）若函数y=g（x）图象恒过定点P，且点P在y=f（x）的图象上，求m的值；
（Ⅱ）当a=8时，设F（x）=f′（x）+g（x），讨论F（x）的单调性；
（Ⅲ）在（I）的条件下，设G(x)=
f(x)，x≤1
g(x)，x＞1
，曲线y=G（x）上是否存在两点P、Q，使△OPQ（O为原点）是以O为直角顶点的直角三角形，且该三角形斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．

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