Question

已知函数f（x）=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

（Ⅰ）确定函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断并证明f（x）在（-1，1）上的单调性；
（Ⅲ）解不等式f（x-1）＜-f（x）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得，f（-x）=-f（x），代入可求b，然后由且f(

1

2

)=

2

5

可求a，进而可求函数解析式；
（Ⅱ）对函数求导可得，f′（x）=

1-x2

(1+x2)2

，结合已知x的范围判断导函数的正负即可判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性；
（Ⅲ）由已知可得f（x-1）＜-f（x）=f（-x），结合函数在（-1，1）上单调递增可求x的范围；

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即

-ax+b

1+(-x)2

=-

ax+b

1+x2

，
∴-ax+b=-ax-b，∴b=0，
∵f(

1

2

)=

2

5

，
∴

1 2 a

1+ 1 4

=

2

5

，解得a=1，
∴f（x）=

x

1+x2

；
（Ⅱ）f（x）在（-1，1）上是增函数，证明如下：
∵f′（x）=

1-x2

(1+x2)2

，
∵-1＜x＜1时，

1-x2

(1+x2)2

＞0，
∴f（x）在（-1，1）上是增函数；
（Ⅲ）∵f（x）为（-1，1）上的奇函数，
∴f（x-1）＜-f（x）=f（-x），
由（Ⅱ）知函数f（x）在（-1，1）上单调递增，
∴

-1＜x-1＜1 -1＜x＜1 x-1＜-x

，解得0＜x＜

1

2

，
∴f（x-1）＜-f（x）的解集为（0，

1

2

）．

点评：本题主要考查了奇函数定义的应用及待定系数求解函数的解析式，考查了函数的单调性在不等式的求解中的应用．