题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（I）求f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）在给出的坐标系中画出函数y=f（x）在[0，π]上的图象，并说明y=f（x）的图象是由y=sin2x的图象怎样变换得到的．

解：（I）函数 $\text{[math]}$
=2 $\text{[math]}$ （cosxcos $\text{[math]}$ -sinxsin $\text{[math]}$ ）（cosxcos $\text{[math]}$ +sinxsin $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ sin2x
=2 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ cos²x- $\text{[math]}$ sin²x）+ $\text{[math]}$ sin2x= $\text{[math]}$ cos2x+ $\text{[math]}$ sin2x=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）．
故f（x）的最小正周期为 $\text{[math]}$ =π，最大值为2．
（Ⅱ）列表：

x	0	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
2x+ $\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	π	$\text{[math]}$	2π	$\text{[math]}$
f（x）	$\text{[math]}$	2	0	-2	0	$\text{[math]}$

如图所示：

把y=sin2x的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位，再把所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，即得函数f（x）的图象．
分析：（I）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），由此可得它的最小正周期及最大值．
（Ⅱ）用五点法作出函数y=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）在一个周期上的图象．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和最值，用五点法作出函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的图象，属于中档题．