Question

设函数f（x）=x²+bln（x+1）．
（1）若b=﹣4，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求b的取值范围；
（3）若b=﹣1，证明对任意n∈N⁺，不等式…都成立．

Answer 1

（1）解：求导函数，可得，定义域{x|x＞﹣1}
∴当﹣1＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0．
故函数f（x）的减区间是（﹣1，1），增区间是（1，+∞）．
（2）解：∵，
又函数f（x）在定义域是单调函数，
∴f'（x）≥0，或f'（x）≤0在（﹣1，+∞）上恒成立．
若f'（x）≥0，∵x+1＞0，
∴2x²+2x+b≥0在（﹣1，+∞）上恒成立，即恒成立，
由此得；
若f'（x）≤0，∵x+1＞0，
∴2x²+2x+b≤0，即b≤﹣（2x²+2x）恒成立，因﹣（2x²+2x）在（﹣1，+∞）没有最小值，
∴不存在实数b使f'（x）0恒成立．
综上所知，实数b的取值范围是．
（3）证明：当b=﹣1时，函数f（x）=x²﹣ln（x+1），
令函数h（x）=f（x）﹣x³=x²﹣ln（x+1）﹣x³，则，
∴当x∈[0，+∞）时，h'（x）＜0，
∴函数h（x）在[0，+∞）上单调递减，
又h（0）=0，
∴当x∈（0，+∞）时，h（x）＜h（0）=0，即x²﹣ln（x+1）＜x³恒成立．
故f（x）＜x³．
∵k∈N*，∴，
取，
∴…，
故结论成立．