Question

已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（2-x）=f（x），且在区间[0，1]上是增函数．若函数g（x）=f（x）-log₂x有且仅有两个零点，则f（x）的最大值为

log₂⁵

．

Answer 1

分析：确定函数在区间[-1，1]上是增函数，是以4为周期的周期函数，x=1、5是函数的对称轴，且取得最大值，由此可得结论．

解答：解：∵f（x）在区间[0，1]上是增函数，f（x）在R上是奇函数
∴f（x）在区间[-1，1]上是增函数
∵奇函数f（x）满足f（2-x）=f（x），∴f（2+x）=-f（x），∴f（4+x）=f（x）
∴函数是以4为周期的周期函数，
∵f（2-x）=f（x），∴x=1是函数的对称轴，且取得最大值
∴x=5也是函数的对称轴，且取得最大值
∵函数g（x）=f（x）-log₂x有且仅有两个零点，
∴f（x）的最大值为log₂⁵
故答案为：log₂⁵

点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查函数的周期性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．