Question

设x＞0，y＞0，证明不等式：＞.

Answer 1

思路分析：本题含有根式，首先考虑化为整式能否证明，进一步整理，发现可以用基本不等式证明，故采用分析法，当然也可以用综合法.

证明：（分析法）所证不等式即：(x²+y²)³＞(x³+y³)²,

即：x⁶+y⁶+3x²y²(x²+y²)＞x⁶+y⁶+2x³y³,

即：3x²y²(x²+y²)＞2x³y³,

只需证：x²+y²＞xy.

∵x²+y²≥2xy＞xy成立,

∴(x²+y²)＞(x³+y³).

（综合法）∵(x²+y²)³=x⁶+y⁶+3x²y²(x²+y²)≥x⁶+y⁶+6x³y³

＞x⁶+y⁶+2x³y³=(x³+y³)²,

又∵x＞0,y＞0,∴＞.