Question

【题目】已知函数，其中m为常数，且是函数的极值点．

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅰ）若在上恒成立，求实数的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

(Ⅰ)先对求导,再利用,列式求解,最后再进行检验即可;

(Ⅱ)令,则题意可转化为在上恒成立,对求导,然后分,和三种情况,研究的单调性,判断其最小值是否大于0,从而得出结论.

(Ⅰ),则,

是函数的极值点,

,,

又时,,

当时,,时,,

∴在上单调递增,上单调递减,

∴是函数的极大值点,

∴符合题意;

(Ⅱ)令,则,

由题得在上恒成立,

,

令,

则,

①当时,,则,

∴在上单调递增,∴,成立;

②当时,令,

则,

在时,,

∴在上单调递增,

又,,

则在上存在唯一使得,

∴当时,,在上单调递减,

,不符合题意;

③当时,在时,,

∴在上单调递减,此时,不符合题意;

综上所述,实数k的最小值为.