Question

已知函数f（x）=

3

cos²x+

1

2

sin2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据二倍角的余弦、两角和的正弦公式化简解析式，再求出函数的最小正周期；
（Ⅱ）由x的范围求出“2x+

π

3

”的范围，再由正弦函数的最值求出此函数的最值，以及对应的x的值．

解答：解：（Ⅰ）由题意得，f(x)=

3 (1+cos2x)

2

+

1

2

sin2x
=

3

2

cosx+

1

2

sin2x+

3

2

=sin(2x+

π

3

)+

3

2

 
则f（x）的最小正周期T=π                                                                
（Ⅱ）∵-

π

6

≤x≤

π

4

，∴0≤2x+

π

3

≤

5π

6

，
当2x+

π

3

=

π

2

时，即x=

π

12

时，f（x）的最大值为1+

3

2

，
当2x+

π

3

=0时，即x=-

π

6

时，f（x）的最小值为

3

2

．

点评：本题考查了二倍角的余弦、两角和的正弦公式，以及正弦函数的最值的应用，考查了整体思想．