Question

已知函数f（x）=3-2log₂x，g（x）=log₂x．
（1）求函数的最大值；
（2）如果对f（x²）f（）＞kg（x）中的任意x∈[1，4]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先将绝对值符号化去，再确定函数的最大值；
（2）令t=log₂x，将对f（x²）f（）＞kg（x）中的任意x∈[1，4]不等式恒成立，转化为（3-4t）（3-t）＞kt对一切t∈[0，2]恒成立，分类讨论，利用分离参数法，即可求实数k的取值范围．
解答：解：（1）f（x）-g（x）=3（1-log₂x），
当x＞2时，f（x）＜g（x）；当0＜x≤2时，f（x）≥g（x），
∴M（x）=
当0＜x≤2时，M（x）的最大值为1；当x＞2时，M（x）＜1．
综上：当x=2时，M（x）取到最大值为1．
（2）由f（x²）f（）＞kg（x）得：（3-4log₂x）（3-log₂x）＞k•log₂x，
令t=log₂x，∵x∈[1，4]，∴t∈[0，2]，
∴（3-4t）（3-t）＞kt对一切t∈[0，2]恒成立．
①当t=0时，k∈R；
②当t∈（0，2]时，k＜恒成立，即k＜4t+-15，
∵4t+≥12，当且仅当4t=，即t=时取等号．
∴4t+-15的最小值为-3，∴k＜-3．
综上k的取值范围是k＜-3．
点评：本题考查函数的最值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．