Question

已知x，y满足（x-y-1）（x+y）≤0，则（x+1）²+（y+1）²的最小值是（　　）

• A、0
• B、

  1

  2

• C、

  2

  2

• D、2

Answer 1

分析：由题意（x+1）²+（y+1）²的几何意义是点（x，y）与点（-1，-1）的距离的平方，（x+1）²+（y+1）²的最小值即为点（-2，-2）到直线y-x+1=0的距离的平方，由此问题转化为求点（-1，-1）到直线y-x+1=0的距离．

解答：解：由题意（x+1）²+（y+1）²的几何意义是点（x，y）与点（-1，-1）的距离的平方
实数x，y满足（x-y-1）（x+y）≤0，即

x-y-1≤0 x+y≥0

或

x-y-1≥0 x+y≤0

，
即点（x，y）在如下图所示的阴影区域内运动，

∴两点（x，y）与点（-1，-1）的距离的最小值，
即为点（-1，-1）到直线y-x+1=0的距离
由于d=

|1-1+1|

2

=

2

2

∴（x+1）²+（y+1）²的最小值为

2

2

．
故选：C

点评：本题考查简单线性规划的应用，点到直线的距离公式，解题的关键是理解题意，将求（x+1）²+（y+1）²的最小值问题转化为点（-1，-1）到直线y-x+1=0的距离的平方，本题考查了转化的思想，数形结合的思想，本题考查析几何的根本问题，题目难度不大，但很有价值．