题目内容

定义：对函数，若存在常数，对任意的，存在唯一的，使得，则称函数在上的“均值”为.已知，，则其反函数在[10 ，100]上的均值为

A.                   B.10                            C.                     D.

A 


解析:

  ，  ，  ，

         .

   ∴     在[10  ， 100]上的均值为  .

练习册系列答案
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设f（x）是定义在[0，1]上的函数，若存在x*∈（0，1），使得f（x）在[0，x•]上单调递增，在[x•，1]单调递减，则称f（x）为[0，1]上的单峰函数，x•为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．
对任意的[0，1]上的单峰函数f（x），下面研究缩短其含峰区间长度的方法．
（Ⅰ）证明：对任意的x1，x2∈（0，1），x1＜x2，若f（x1）≥f（x2），则（0，x2）为含峰区间；若f（x1）≤f（x2），则（x1，1）为含峰区间；
（Ⅱ）对给定的r（0＜r＜0.5），证明：存在x1，x2∈（0，1），满足x2-x1≥2r，使得由（Ⅰ）确定的含峰区间的长度不大于0.5+r；
（Ⅲ）选取x1，x2∈（0，1），x1＜x2由（Ⅰ）可确定含峰区间为（0，x2）或（x1，1），在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定是一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为（0，x2）的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34．
（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）．
我们给出如下定义：对函数y=f（x），x∈D，若存在常数C（C∈R），对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得
f(x1)+f(x2)
2
=C，则称函数f（x）为“和谐函数”，称常数C为函数f（x）的“和谐数”．
（1）判断函数f（x）=x+1，x∈[-1，3]是否为“和谐函数”？答：
是
是
．（填“是”或“否”）如果是，写出它的一个“和谐数”：
2
2
．
（2）请先学习下面的证明方法：
证明：函数g（x）=lgx，x∈[10，100]为“和谐函数”，
3
2
是其“和谐数”．
证明过程如下：对任意x1∈[10，100]，令
g(x1)+g(x2)
2
=
3
2
，即
lgx1+lgx2
2
=
3
2
，
得x2=
1000
x1
．∵x1∈[10，100]，∴x2=
1000
x1
∈[10，100]．即对任意x1∈[10，100]，存在唯一的x2=
1000
x1
∈[10，100]，使得
g(x)+g(x2)
2
=
3
2
．∴g（x）=lgx为“和谐函数”，
3
2
是其“和谐数”．
参照上述证明过程证明：函数h（x）=2x，x∈（1，3）为“和谐函数”；
（3）写出一个不是“和谐函数”的函数，并作出证明．
设f（x）是定义在R上的函数．
①若存在x1，x2∈R，x1＜x2，使f（x1）＜f（x2）成立，则函数f（x）在R上单调递增；
②若存在x1，x2∈R，x1＜x2，使f（x1）≤f（x2）成立，则函数f（x）在R上不可能单调递减；
③若存在x2＞0对于任意x1∈R都有f（x1）＜f（x1+x2）成立，则函数f（x）在R上递增；
④对任意x1，x2∈R，x1＜x2，都有f（x1）≥f（x2）成立，则函数f（x）在R上单调递减．
则以上真命题的个数为（　　）
我们给出如下定义：对函数y=f（x），x∈D，若存在常数C（C∈R），对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得
f(x1)+f(x2)
2
=C，则称函数f（x）为“和谐函数”，称常数C为函数f（x）的“和谐数”．
（1）判断函数f（x）=x+1，x∈[-1，3]是否为“和谐函数”？答：
 
．（填“是”或“否”）如果是，写出它的一个“和谐数”：
 
．（4分）
（2）证明：函数g（x）=lgx，x∈[10，100]为“和谐函数”，
3
2
是其“和谐数”；
（3）判断函数u（x）=x2，x∈R是否为和谐函数，并作出证明．

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