Question

如图，折线段AP→PQ→QC是长方形休闲区域ABCD内规划的一条小路，已知AB=1百米，
AD=a（a≥1）百米，点P在以A为圆心，AB为半径的圆弧上，PQ⊥BC，Q为垂足．
（1）试问点P在圆弧何处，能使该小路的路程最短？最短路程为多少？
（2）当a=1时，过点P作PM⊥CD，垂足为M．若将矩形PQCM修建为观赏水池，试问点P在圆弧何处，能使水池的面积最大？

Answer 1

分析：（1）设∠PAB=α，则 α∈[0，

π

2

]，PQ=1-cosα，QC=a-sinα，该小路的路程 AP+PQ+QC=1+1-cosα+a-sinα=a+2-

2

sin（α+

π

4

 ），可求得AP+PQ+QC 有最小值．
（2）当a=1时，矩形矩形PQCM的面积S=PQ•QC=（1-cosα ）（1-sinα）=1-（sinα+cosα）+sinαcosα，设 sinα+cosα=t=

2

sin（

π

4

+α）∈[1，

2

]，利用S=1-t+

t2-1

2

=

1

2

（t-1）² 在[1，

2

]上是单调增函数，可求得S的最大值．

解答：解：（1）设∠PAB=α，则 α∈[0，

π

2

]，PQ=1-cosα，QC=a-sinα，
∴该小路的路程 AP+PQ+QC=1+1-cosα+a-sinα=a+2-

2

sin（α+

π

4

 ），
故当α=

π

4

时，AP+PQ+QC 有最小值为 a+2-

2

 （百米）．
即点P在圆弧AB的中点时，AP+PQ+QC 有最小值a+2-

2

 （百米）．
（2）当a=1时，矩形矩形PQCM的面积S=PQ•QC=（1-cosα ）（1-sinα）=
1-（sinα+cosα）+sinαcosα，设 sinα+cosα=t=

2

sin（

π

4

+α）∈[1，

2

]，
S=1-t+

t2-1

2

=

1

2

（t-1）² 在[1，

2

]上是单调增函数，∴t=

2

时，即α=

π

4

 时，
S最大为

3

2

-

2

，即点P在圆弧AB的中点时，能使水池的面积最大．

点评：本题考查两角和差的三角函数，以及利用正弦函数的单调性求出式子的最值．