题目内容
锐角三角形ABC中，若∠C=2∠B，则
的取值范围是（ ）
| AB |
| AC |
分析：由∠C=2∠B，根据由正弦定理：
=
，得到
=
，所以
=2cosB．由题设条件先推导出30°＜∠B＜45°，再由2cos45°＜2cosB＜2cos30°来求
的取值范围．
| AB |
| sinC |
| AC |
| sinB |
| AB |
| 2sinBcosB |
| AC |
| sinB |
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
解答：解：∵∠C=2∠B，
∴由正弦定理：
=
，
得
=
，
∴
=2cosB．
当∠C为最大角时，
∵锐角三角形ABC中∠C＜90°，
∴B＜45°．
当A为最大角时，
∵锐角三角形ABC中A＜90°，
∴B＞30°
∴30°＜∠B＜45°，
∴2cos45°＜2cosB＜2cos30°
∴
＜
=2cosB＜
．
故选C．
∴由正弦定理：
| AB |
| sinC |
| AC |
| sinB |
得
| AB |
| 2sinBcosB |
| AC |
| sinB |
∴
| AB |
| AC |
当∠C为最大角时，
∵锐角三角形ABC中∠C＜90°，
∴B＜45°．
当A为最大角时，
∵锐角三角形ABC中A＜90°，
∴B＞30°
∴30°＜∠B＜45°，
∴2cos45°＜2cosB＜2cos30°
∴
| 2 |
| AB |
| AC |
| 3 |
故选C．
点评：本题考查正弦定理的应用，看似简单，实则较难．解题时认真审题，注意合理地进行等价转化，易错点是求∠B的取值范围时容易忽视∠B＞30°的情况．
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