Question

已知函数f（x）=sin（2x+

π

6

），其中x∈[-

π

6

，a]．当a=

π

3

时，f（x）的值域是

[-

1

2

，1]

；若f（x）的值域是[-

1

2

，1]，则a的取值范围是

[

π

6

，

π

2

]

．

Answer 1

分析：把给出的a值代入后，由x的范围直接求出2x+

π

6

的范围，则f（x）的值域可求；由给出的x∈[-

π

6

，a]，求出2x+

π

6

的范围，要使f（x）的值域是[-

1

2

，1]，需要

π

2

≤2a+

π

6

≤

7π

6

，由此可以求得a的范围．

解答：解：当a=

π

3

时，由-

π

6

≤x≤

π

3

，得：-

π

3

≤2x≤

2π

3

，
则-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

．
所以f（x）的值域是[-

1

2

，1]．
又由-

π

6

≤x≤a，得：-

π

3

≤2x≤2a，
则-

π

6

≤2x+

π

6

≤2a+

π

6

．
要使f（x）的值域是[-

1

2

，1]，
如图，由单位圆中的三角函数线可得：

π

2

≤2a+

π

6

≤

7π

6

，解得：

π

6

≤a≤

π

2

所以，使f（x）的值域是[-

1

2

，1]的a的取值范围是[

π

6

，

π

2

]．
故答案分别为[-

1

2

，1]；[

π

6

，

π

2

]．

点评：本题考查了正弦型函数的定义域和值域，解答此题的关键是理解并掌握三角函数线，利用三角函数线能更加直观的得到该题的答案，此题是基础题．