题目内容
已知函数f(x)=x+log2
(x∈(0,3)).(1)求证:f(x)+f(3-x)为定值;
(2)记S(n)=
(1+
)(n∈N*),求S(n);
(3)若函数f(x)的图象与直线x=1,x=2及x轴所围成的封闭图形的面积为S,试探究S(n)与S的大小关系.
(1)证明:f(x)+f(3-x)=x+log2 +3-x+log2=3.
∴f(x)+f(3-x)为定值3.
(2)解:∵1++1+
=3,
f(
)=
［f(x)+f(3-x)］=
,
∴f(1+
)+f(1+
)+…+f(1+
)+…+f(1+
)
=3×(2n-1-1)+f(
)
=3·2n-1-
.
∴S(n)=
(3·2n-1-
)=
-
.
(3)解:S=
f(x)dx=
xdx+
log2xdx-
log2(3-x)dx
=
xdx=
.
∴S(n)-S=
-
-
=
＜0.
∴S(n)＜S恒成立.
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