Question

已知函数f（x）=sin2x-2cos²x+m的图象经过点（

π

8

，0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最大值；
（Ⅱ）若f（

α

2

）=

3 2

5

，α∈（0，

π

2

），求sinα的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，将x=

π

8

，y=0代入求出m的值，即可确定出函数f（x）的解析式，利用正弦函数的图象与性质即可求出f（x）的最大值；
（Ⅱ）根据f（

α

2

）=

3 2

5

，求出sin（α-

π

4

）的值，根据α的范围确定出α-

π

4

的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α-

π

4

）的值，sinα变形为sin[（α-

π

4

）+

π

4

]，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin2x-cos2x-1+m，
∴f（

π

8

）=sin

π

4

-cos

π

4

-1+m=m-1=0，即m=1，
∴f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），
∴当2x-

π

4

=

π

2

+2kπ，即x=

3π

8

+kπ，k∈Z时，f（x）取最大值

2

；
（Ⅱ） f（

α

2

）=

2

sin（α-

π

4

）=

3 2

5

，∴sin（α-

π

4

）=

3

5

，
∵α∈（0，

π

2

），∴α-

π

4

∈（-

π

4

，

π

4

），
∴cos（α-

π

4

）=

1-sin2(α- π 4 )

=

4

5

，
∴sinα=sin[（α-

π

4

）+

π

4

]=

2

2

[sin（α-

π

4

）+cos（α-

π

4

）]=

2

2

×（

3

5

+

4

5

）=

7 2

10

．

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的图象与性质，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．