Question

为提高某篮球运动员的投篮水平，教练对其平时训练的表现作以详细的数据记录：每次投中记l分，投不中记一1分，统计平时的数据得如图所示频率分布条形图．若在某场训练中，该运动员前n次投篮所得总分数为s_n，且每次投篮是否命中相互之间没有影响．
（1）若设ξ=|S₃|，求ξ的分布列及数学期望；
（2）求出现S₈=2且S_i≥0（i=1，2，3）的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知每次投篮是否命中相互之间没有影响，且每次发生的概率不变，本题可以看做一个独立重复试验根据题意分析可知ξ的取值分别为1，3，结合变量对应的事件写出分布列和期望．
（Ⅱ）由题意知包含两种情况，这两种情况是互斥的，第一种情况是第一次投中，第二次未投中，第三次投中，后五次中任意两次未投中．第二种情况：第一次和第二次都投中，后六次中任意三次未投中．根据概率公式得到结果．

解答：解：（Ⅰ）由题意知每次投篮是否命中相互之间没有影响，且每次发生的概率不变，
本题可以看做一个独立重复试验
分析可知ξ的取值分别为1，3
∴P(ξ=1)=

C

2 3

(

1

3

)2(

2

3

)+

C

2 3

(

2

3

)2(

1

3

)=

2

3

P(ξ=3)=(

1

3

)3+(

2

3

)3=

1

3

∴ξ的分布列为

Eξ=1×

2

3

+3×

1

3

=

5

3

（Ⅱ）若S₈=2，说明前八次投篮中，五次投中三次未投中，又S_i≥0（I=1，2，3）
∴包含两种情况，这两种情况是互斥的，
第一种情况：第一次投中，第二次未投中，第三次投中，后五次中任意两次未投中．
此时的概率为P1=(

2

3

)(

1

3

)(

2

3

)

C

2 5

(

1

3

)2(

2

3

)3=

C

2 5

(

2

3

)5(

1

3

)3
第二种情况：第一次和第二次都投中，后六次中任意三次未投中．此时的概率为
P2=(

2

3

)(

2

3

)

C

3 6

(

1

3

)3(

2

3

)3=

C

3 6

(

2

3

)5×(

1

3

)3．
∴出现S₈=2且S_i≥0（I=1，2，3）的概率为：P=P1+P2=

320

37

=

320

2187

．

点评：本题考查二项分布和互斥事件的概率，是一个综合题，解题的关键是分析本题符合什么规律，利用规律解题要简单得多．